ระบบจำนวนจริง
Home
ระบบจำนวนจริง
ระบบจำนวนตรรกยะ
ระบบจำนวนเชิงซ้อน
สมบัติของจำนวนจริง
การแก้สมการตัวแปลเดียว
สมบัติของการไม่เท่ากัน
สัจพจน์ความบริบูรณ์
การหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ขั้นตอนวิธีข
แผนผัง
แบบฝึกหัด
เฉลยแบบทดสอบ
VDO การสอน
สมาชิกในกลุ่ม
กระทู้
บทนิยามสมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0
เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า "
สมการพหุนามกำลัง n
" ตัวอย่างเช่น
x3 - 2x2 + 3x -4 = 0 4x2 + 4x +1 = 0 2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0 •
การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2
สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ ทฤษฎีบทเศษเหลือ เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c) นั่นคือ เศษของคือ f(c) ทฤษฎีบทตัวประกอบ เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0 ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของคือ 0 แสดงว่า x - c หาร f(c) ได้ลงตัว นั่นคือ x - c เป็นตัวประกอบของ f(x) ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0 ถ้า x -เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว (1) m จะเป็นตัวประกอบของ an (2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0 ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้ 1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an ที่ทำให้ f() = 0 ตามทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ 2. นำ x - c หรือ x -ที่หาได้ในข้อ 1. ไปหาร f(x) ผลหาร จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1 3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2.-------------------------------------------------------------------ตัวอย่างที่ 1จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 2x2 - x + 2= 0วิธีทำให้ f(x) = x3 - 2x2 - x + 2 ∴ f(1) = 1 - 2 -1 + 2 = 0 ∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x) ∴= x2 - x - 2 x3 - 2x2 - x + 2 = (x-1)(x2 - x - 2) = (x-1)(x-2)(x+1) x3 - 2x2 - x + 2 = 0 (x-1)(x-2)(x+1) = 0 x = 1, 2, -1 ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 1, 2}